Esercizio 5. Retta tangente a una curva piana data in forma implicita

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Esercizio

Assegnata la curva

1) Scrivere l'equazione della tangente in P(2,0)
2) Classificare gli eventuali punti singolari.

Soluzione
Poniamo

L'equazione della retta tangente è

Calcoliamo le derivate parziali:

Segue

Quindi l'equazione richiesta:

Per il quesito 2 dobbiamo risolvere il sistema:

Si noti che la funzione F(x,y) non è definita sull'asse y, mentre le derivate parziali rispetto alle variabili x e y, sono ivi definite con esclusione dell'origine (0,0). Ne segue che dobbiamo escludere dalle eventuali soluzioni i punti dell'asse y. Risolvendo con Mathematica otteniamo i seguenti punti singolari:

Per classificarli dobbiamo valutare

dove

A tale scopo determiniamo le derivate parziali seconde:

Segue

per cui i predetti punti sono nodi (punti doppi). Sfortunatamente non è possibile tracciare la curva via software. Ne possiamo avere un'idea da come il grafico z=F(x,y) interseca il piano z=0 (fig. 1).

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Exercise

Let's consider the curve

1) Write the equation of the tangent in P(2,0)

2) Classify any singular points.

Solution
Let's say

The equation of the tangent line is

Let's calculate the partial derivatives:

It follows

Then the required equation:

For question 2 we have to solve the system:

Note that the function F (x, y) is not defined on the y axis, while the partial derivatives with respect to the variables x and y are defined there with exclusion of the origin (0,0). It follows that we must exclude the points of the y axis from any solutions. Solving with Mathematica we obtain the following singular points:

To classify them we need to evaluate

where

For this purpose we determine the second partial derivatives:

It follows

so the aforementioned points are knots (
double points). Unfortunately it is not possible to plot the curve via software. We can get an idea from how the graph z = F (x, y) intersects the plane z = 0 (fig. 1).