Evoluta dell'iperbole

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Esercizio

Assegnata l'iperbole:

Determinare: 1) le coordinate cartesiane del centro di curvatura e il raggio di curvatura in un generico punto dell'iperbole. 2) L'equazione dell'evoluta.

Soluzione
È sufficiente riferirsi al ramo tracciato nel semipiano x>0. Qui l'iperbole ammette la seguente rappresentazione parametrica:

Dobbiamo applicare le seguenti formule per il raggio di curvatura e le coordinate del centro di curvatura:

Nel caso in esame è

Segue

mentre

Quindi una rappresentazione parametrica dell'evoluta è

Entrambe le curve sono tracciate in fig.1.

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Exercise

Given the hyperbole:

Determine: 1) the Cartesian coordinates of the center of curvature and the radius of curvature in a generic point of the hyperbole. 2) The equation of the evolved.

Solution
It is sufficient to refer to the branch traced in the half plane x > 0. Here the hyperbola admits the following parametric representation:

We need to apply the following formulas for the radius of curvature and the coordinates of the center of curvature:

In the present case it is

It follows

while

So a parametric representation of the evolute is

Both curves are plotted in fig. 1.