Ricordiamo che x0=x(t0) è la posizione iniziale della particella. Precisamente, avevamo impostato il problema di Cauchy
Dal momento che
si ha
dove F(x)=-V'(x) è la forza agente sulla particella. Supponiamo che la posizione iniziale x0 sia uno zero di f(x) i.e. f(x0)=0. Quindi l'integrale generalizzato
Se si annulla anche la derivata prima:
cioè è nulla anche la forza. Ne segue che x(t)=x0 è l'unica soluzione del predetto problema di Cauchy. Ciò discende da una nota proprietà delle equazioni differenziali a variabili separabili. Infatti, l'equazione differenziale in istudio equivale a quest'altra
Prima di separare le variabili, si ricercano gli eventuali zeri del secondo membro, cioè x0 giacchè stiamo ipotizzando proprio questo. D'altra parte, x0 è la condizione iniziale del problema, onde l'unica soluzione x(t)=x0. Ne concludiamo che la particella rimane in quiete in tale punto, che prende il nome di posizione di equilibrio.
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