Decodificando il Fasano-Marmi (Teorema di Analisi Matematica 1)

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Approfondiremo in un post successivo la questione della convergenza dell'integrale in figura (importante per lo studio della dinamica unidimensionale). Per ora riferiamoci al comportamento della funzione integranda. Svincoliamoci da ciò che dicono gli autori del libro, dimostrando un interessante teorema di analisi matematica 1, quale conseguenza del .

Teorema
Ipotesi:

1. Sia f una funzione non negativa in [a,b], ivi continua e derivabile nei punti interni, i.e. in (a,b).
2. Sia ξ uno zero di f in (a,b)

Tesi:

• ξ è punto di minimo relativo per f.
• Per x->ξ, le funzioni f(x)^1/2 e f'(x) sono infinitesimi dello stesso ordine

Dim.

La prima parte del teorema è evidente. Per dimostrare al seconda parte, calcoliamo

Definiamo

per cui

Per le ipotesi fatte, la funzione ψ(x) è regolare in x=ξ:

Ne segue

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