Quiete relativa di un blocco rispetto ad un altro blocco in movimento

Esercizio di Fisica 1
Due blocchi di massa m₁ e m₂ > m₁ sono disposti su un blocco di massa m, come in fig. 1, ove la carrucola è supposta ideale, e il cavo è inestensibile e di massa trascurabile. A) Con quale accelerazione si muovono i blocchi m₁ e m₂? B) In un certo istante si vuole applicare una forza F in modo che i predetti blocchi rimangano in quiete rispetto a m. Determinare l'intensità di tale forza.
Trascurare tutti gli attriti.

Soluzione
Fissiamo un asse y verticale orientato verso il basso (fig. 1). Denotando con T la tensione esercitata dal cavo sul blocco di massa m2, per il secondo principio della dinamica si ha:

che proiettata sul predetto asse y, porge:

Per l'analisi delle forze agenti sul blocco di massa msub>1, adottiamo un asse x orizzontale come in

dove R_N è la reazione normale del vincolo, e dal momento che stiamo trascurando l'attrito, si ha

per cui la precedente diviene

che sostituita nell'equazione scritta più sopra ci consente di determinare l'accelerazione delle due masse:

Per rispondere al quesito B osserviamo innanzitutto, che l'applicazione di una forza F parallela e concorde all'asse x, dà luogo a un accelerazione

In altri termini, l'intero sistema costituito dai tre blocchi trasla nella direzione positiva dell'asse x con accelerazione a'. È preferibile passare al riferimento in cui il predetto sistema è in quiete. Trattandosi di un riferimento non inerziale, comparirà una forza d'inerzia applicata, ad esempio, alla massa m₁:

Siccome il blocco m₁ è soggetto anche alla tensione T del cavo, si ha che tale blocco è in quiete se

Cioè, il blocco m₁ è in quiete rispetto a m, se l'accelerazione dovuta alla forza applicata F è uguale in modulo all'accelerazione dovuta alla tensione del cavo. Quindi

Per ricavare T, non dobbiamo fare altro che riscrivere l'equazione del moto di m₂ nel sistema di riferimento in cui m è in quiete. E siccome stiamo richiedendo la quiete relativa, si ha