Consideriamo la superficie regolare:
i.e. la funzione vettoriale
di classe C¹ su D. I parametri u,v istituiscono un sistema di coordinate curvilinee su S. Per mostrare ciò, fissiamo la nostra attenzione sul piano coordinato (u,v) ove possiamo definire le linee coordinate:
per un'assegnata coppia di parametri (u0,v0) come illustrato in fig. 1.
I predetti luoghi geometrici sono segmenti di retta e sono banalmente regolari. Per la proposizione dimostrata nel numero precedente, la regolarità si conserva nel processo di immagine attraverso l'applicazione r(u,v). In altri termini, le immagini Γu0,Γv0 di C;u0,C;v0 sono archi di curva regolari. Abbiamo
Allo stesso modo
Definizione
(u0,v0) diconsicoordinate curvilinee del punto P0 di S.
Ne consegue che parametrizzare una superficie S equivale a ricoprire S con due famiglie di curve regolari, che si dicono linee coordinate su S.
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