[¯|¯] [Serie di funzioni] Teorema del limite

Consideriamo la serie di funzioni

convergente in E (sottoinsieme di R), con somma f(x)

Sia x₀ punto di accumulazione per E, e supponiamo che le funzioni f_n(x) siano ivi convergenti:

Tale ipotesi implica l'esistenza della serie numerica

per cui ci chiediamo: la predetta serie converge? Una risposta affermativa innesca la questione

ben evidenziata dal punto interrogativo. In altri termini, ci stiamo chiedendo che se in caso di convergenza delle funzioni f_{n}(x), sia possibile scambiare di posto la sommatoria con l'operatore limite:
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