[¯|¯] Il Teorema dei numeri primi per lo sviluppo in serie di pi(x)

Procedendo per assurdo, supponiamo che fuori della retta critica ci siano N'₀ coppie di zeri non banali, come illustrato nella figura. Per quanto visto, assumendo come parametro libero l'intero naturale N'₀, è definita la seguente famiglia di distribuzioni di numeri primi:

Rammentiamo l'espressione analitica delle funzioni a secondo membro dell'equazione scritta sopra:

con









Rammentiamo ulteriormente che le funzioni ψ_n¹(x),ψ_n²(x) hanno un andamento oscillante e come tali sono non regolari per x->+oo. Sono, tuttavia, definitivamente limitate intorno a ++oo.
Il parametro libero N'₀ deve comunque essere tale che sia verificato il Teorema dei numeri primi:

essendo

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