[¯|¯] Olomorfia della derivata logaritmica della funzione zeta

Nel numero precedente abbiamo dimostrato che gli zeri della funzione zeta sono le singolarità della derivata logaritmica. Scriviamo ora la formula della funzione zeta nella forma euleriana:

il cui campo di convergenza è il seguente campo a connessione lineare semplice:

rammentando che la funzione zeta è olomorfa in A. Inoltre, è stato dimostrato che la zeta è ivi priva di zeri. Prendiamo con le dovute cautele il logaritmo della zeta:

Per "dovute cautele" intendiamo il fatto che nel campo complesso la funzione logaritmo è polidroma. Infatti, scrivendo nella forma polare:

si ha

per cui il logaritmo è definito a meno di multipli interi di 2π:

Per convenzione si assume k=0. Ciò premesso:

Sviluppando -ln(1-p^-z) in serie di Taylor rispetto a p^-z:

onde

Enumerando i primi:

Per quanto precede, le singolarità della derivata logaritmica

sono tutti e soli gli zeri della zeta, che è a sua volta priva di zeri in A, onde la derivata logaritmica è ivi olomorfa. La funzione lnζ(z) è manifestamente olomorfa in A, per cui la serie a secondo membro dell'equazione scritta più sopra converge uniformemente in A. Ciò ci permette di eseguire una derivazione termine a termine:

Segue

Finalmente