[¯|¯] Gli zeri della funzione zeta di Riemann sono le singolarità della sua derivata logaritmica

Se z=x+iy è l'usuale variabile complessa, la funzione zeta di Riemann è definita come:

dove il pedice HE denota l'estensione olomorfa i.e. il prolungamento analitico della funzione assegnata. Ricordiamo che la funzione zeta è olomorfa in tutto C tranne nel punto z=1, dove ha un polo semplice:

Si tratta, quindi, di una funzione meromorfa.

La derivata logaritmica è definita come

dove l'apice denota l'operazione di derivazione complessa. Riesce

giacchè la derivata prima è ancora una somma (ove converge) di una serie di Dirichlet. Nello specifico, tale serie ha coefficienti c_n=-ln(n).
Ciò premesso, dimostriamo il seguente teorema che risolve l'indeterminazione: se z₀ è uno zero della funzione zeta e della sua derivata prima, si ha:

Teorema

Dim.

Supponiamo che z₀ sia uno zero di ordine n. Cioè

Applicando la regola di De L'Hospital:

onde l'asserto.
c.d.d.