[¯|¯] Energia potenziale gravitazionale di una stella

Come è noto, il potenziale gravitazionale φ di una distribuzione di materia di densità ρ(x,y,z) risolve l'equazione di Poisson:

Per una distribuzione a simmetria sferica, rammentando l'espressione del laplaciano in coordinate polari, l'equazione precedente si scrive:

Integrando primo e secondo membro tra 0 e r

da cui

Si noti che detto R il raggio della stella, si ha:

essendo M=M(R) la massa della stella. Dal momento che M è costante:

dove φ₀ è una costante di integrazione che coincide con il valore asintotico della funzione φ(r):

È consuetudine porre pari a zero tale costante, per cui

Per quanto riguarda l'energia potenziale, rammentiamo che per un campo conservativo F(r), l'energia potenziale V(r) è tale che

che in presenza di una simmetria sferica si riscrive:

onde

Se immaginiamo di collocare una particella di prova di massa m in un punto di coordinata radiale r > R, si ha che la forza esercitata dalla stella su tale particella è

Il segno - deriva dal fatto che la forza è attrattiva, per cui è orientata nel verso delle r decrescenti. Segue

con V0 costante di integrazione:

Anche in questo caso si assume nulla la costante di integrazione, con l'ulteriore giustificazione che la forza gravitazionale si annulla all'infinito nella coordinata radiale. Quindi:

Confrontando con l'espressione del potenziale si ha:

Ne consegue che φ(r) è l'energia potenziale di una massa unitaria collocata in r > R, nel campo gravitazionale generato dalla stella. Quindi l'energia potenziale di una qualunque massa m è semplicemente mφ(r).
Il problema che si apre consiste nel determinare non l'energia potenziale gravitazionale di un corpo di prova immerso nel campo gravitazionale della stella, ma l'energia della stella medesima. Tale energia è per definizione pari al lavoro meccanico compiuto sul sistema per portare la materia che compone la stella, dall'infinito alla regione in cui è confinata la distribuzione. Consideriamo, quindi, la solita sfera Σ_r di raggio r < R, e quindi Σ_r+dr, per cui

è la massa contenuta nella corteccia sferica di raggi r e r+dr. Per quanto precede, dobbiamo determinare il lavoro meccanico compiuto per portare dM(r) da r=+oo a r:

Segue

Per definizione

L'integrale può essere calcolato per parti, osservando che

Quindi

Sostituendo nella precedente

Dall'espressione del potenziale:

per cui

che ci permette di eseguire una nuova integrazione per parti:

Sostituendo nella precedente:

che è l'energia potenziale gravitazionale della configurazione di equilibrio.

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