[¯|¯] Forma integrale dell'equazione di Thomas-Fermi

L'equazione di Thomas-Fermi si scrive:

Ricordiamo rapidamente che χ(x)>0 è il potenziale universale di Fermi adimensionalizzato, mentre x è una coordinata radiale adimensionalizzata (per cui x >= 0). È preferibile riscrivere l'equazione precedente nella forma consueta delle equazioni differenziali (la cosiddetta forma normale):









Abbiamo, dunque, un'equazione differenziale del secondo ordine non lineare. Un problema di interesse fisico consiste nel determinare l'unica soluzione che soddisfa le condizioni al contorno:

Per determinare la predetta soluzione si procede per via numerica, giacché l'equazione non è integrabile in forma chiusa. Di seguito un'analisi qualitativa di tale soluzione. Abbiamo:

Cioè il grafico della soluzione volge la concavità verso l'alto. Inoltre, siccome l'asse x è asintoto orizzontale, si ha che la funzione è strettamente crescente, per cui

Assumendo y'(x) continua in [0,+oo), si ha

Esaminiamo il comportamento della derivata seconda per x->0⁺

Cioè, la derivata seconda ha in x=0 una discontinuità di seconda specie.
Riscriviamo l'equazione di Thomas-Fermi:

Integriamo primo e secondo membro tra 0 e x:

Per quanto precede, y''(t) ha una singolarità, per cui l'integrale a primo membro è un integrale generalizzato. Tuttavia, l'integrale a secondo membro è un integrale ordinario, giacchè la funzione y(t) è continua nel dominio di integrazione. Da ciò segue la sommabilità della funzione integranda a primo membro. Per un noto criterio di sommabilità, si ha che tale funzione è per t->0, un infinito di ordine 0 < α < 1, rispetto all'infinito di riferimento 1/t:
Cioè la derivata seconda è un infinito di ordine α+(1/2), dove 0 < α < 1. Eseguiamo un integrazione per parti nell'integrale a primo membro dell'equazione scritta più sopra
dove l'ultimo integrale converge in quanto l'integrando è un infinito di ordine 1/2, giacché

Sostituendo l'espressione trovata a primo membro della equazione scritta più sopra otteniamo la forma integrale dell'equazione di Thomas-Fermi:

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