[¯|¯] Altro esempio di integrale generalizzato dipendente da un parametro

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Concludiamo lo studio precedente con quest'altro integrale generalizzato

dove x₀ è un numero reale fissato ad arbitrio, mentre h,α sono parametri reali e positivi. Si tratta, dunque, di studiare la sommabilità della funzione positiva

nell'intervallo [x₀+h,+oo). Tale funzione è graficata in fig. 1, ed è manifestamente infinitesima all'infinito. Inoltre, la funzione è continua nel predetto intervallo. Prendiamo la successione di intervalli come mostrato in fig. 1. Cioè

Segue

e

Eseguiamo il cambio di variabile

onde

Segue

Eseguendo il limite per n->+oo:

Cioè il rettangoloide generalizzato di base [x₀+h,+oo), relativo alla funzione assegnata, è un insieme illimitato che ha area finita se α > 1, area infinita se α <= 1.

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