In precedenza avevamo visto il gioco MU. Vediamo ora la soluzione proposta da Hofstadter nel suo libro, precisando sin da ora che il gioco è impossibile (cioè non è possibile produrre la stringa MU a partire dalla stringa MI e applicando le regole).
Ricapitoliamo:
Simboli: M, I, U
Assioma: MI
Regole
- Se xI è un teorema, allora lo è anche xIU
- Se Mx è un teorema, allora lo è anche Mxx
- In un qualunque teorema si può sostituire III con U
- Si può cancellare UU da qualsiasi teorema
.
.
Definizione
Chiamiamo I-somma il numero di I in una stringa assegnata
Mostriamo che l'I-somma non è mai zero, e non è mai un multiplo di 3. A tale scopo osserviamo che l'I-somma è invariante rispetto alle regole 1 e 4, per cui prendiamo in considerazione solo le regole 2 e 3. Si noti che quest'ultima, cioè la 3, riduce l'I-somma di 3. L'I-somma ottenuta è un multiplo di 3 se e solo se quella iniziale lo era. Quindi la regola 3 non produce nuove I-somma che siano multiple di 3. È facile persuadersi che ciò si verifica anche per la regola 2.
Ne concludiamo che l'I-somma non può mai diventare un multiplo 3. In particolare, l'I-somma non è mai uguale a zero, da cui l'impossibilità del gioco.
