[¯|¯] Esercizio svolto sulla proprietà antisimmetrica di una relazione in un insieme assegnato

Esercizio
Assegnato l'insieme S={1,2,3,4,5,6,7}

il cui grafico è


Soluzione
Il grafico è in fig. 1. La diagonale di S×S è data da:

Ricordiamo la proposizione dimostrata in questa lezione

ma nel nostro caso è

Per la simmetria, riportiamo la proposizione dimostrata in questa lezione

ove G^-1(ρ) è il simmetrico di G(ρ) rispetto a Δ, i.e. il grafico della relazione inversa ρ^-1. Nel nostro caso è:

per cui ρ non è simmetrica. Stabiliamo l'eventuale transitività di ρ.

Cioè

onde ρ non è transitiva. Infine, stabiliamo l'eventuale antisimmetria, utilizzando la proposizione dimostrata in questa lezione

Dal momento che l'intersezione è vuota, si ha che ρ non è antisimmetrica.

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