[¯|¯] Le proprietà di una relazione si traducono in proprietà del grafico

Dimostriamo alcune proposizioni che traducono le proprietà (riflessiva, simmetrica, etc.) in proprietà del grafico di una relazione.
Proposizione 1
Condizione necessaria e sufficiente affinché una relazione ρ:S->P(S) sia riflessiva, è che la diagonale Δ del prodotto cartesiano S×S sia un sottoinsieme del grafico G(ρ). Cioè

Dimostrazione

Proposizione 2
Condizione necessaria e sufficiente affinché una relazione ρ:S->P(S) sia simmetrica, è che il suo grafico sia simmetrico rispetto alla diagonale del prodotto cartesiano S×S. Cioè

ove G^-1(ρ) è il simmetrico di G(ρ).

Dimostrazione
Premettiamo

Segue

D'altra parte

Cioè

Proposizione 3

Dimostrazione

Proposizione 3
Condizione necessaria e sufficiente affinché una relazione ρ:S->P(S) sia antisimmetrica, è che l'intersezione del grafico con il suo simmetrico sia un sottoinsieme della diagonale del prodotto cartesiano S×S. Cioè

Dimostrazione

Proposizione 4
Il grafico della relazione identica in S, è la diagonale di S×S.

Dimostrazione

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