[¯|¯] Relazioni in un insieme. Proprietà riflessiva, proprietà simmetrica, transitiva, antisimmetrica

In una lezione precedente abbiamo introdotto la nozione di corrispondenza tra insiemi. Oggi parleremo di relazione tra gli elementi di un assegnato insieme.

Definizione
Comunque prendiamo un insieme non vuoto S, dicesi relazione una qualunque corrispondenza di S su sé stesso, i.e. una corrispondenza da S verso S:

Posto

scriviamo

che si legge "x è in relazione con x'".








Per quanto precede, l'assegnare una relazione ρ in S, determina univocamente la corrispondenza inversa

ove

Definizione
Chiamiamo ρ^-1 relazione inversa

Proposizione
Comunque prendiamo x,x' quali elementi di S, x è in relazione con x' se e solo se x' è in relazione inversa con x.

Dimostrazione

Esaminiamo ora alcune proprietà che possono essere verificate da una relazione assegnata.

1. Proprietà riflessiva
   Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà riflessiva se
   
2. Proprietà simmetrica
   Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà simmetrica se
   
3. Proprietà antisimmetrica
   Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà antisimmetrica se
   
4. Proprietà transitiva
   Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà transitiva se
   
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