Consideriamo un sistema quanto-meccanico costituito da una particella di massa m vincolata a muoversi sull'asse x sotto l'effetto di un potenziale di oscillatore armonico. Con ovvio significato dei simboli, l'operatore hamiltoniano del sistema si scrive:
essendo ω la pulsazione (o frequenza angolare). Come è noto, l'operatore hamiltoniano in tal caso esibisce uno spettro puramente discreto:
per cui nella notazione bracket di Dirac, l'equazione agli autovalori si scrive:
Nella rappresentazione delle coordinate:
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