Sia data l'equazione differenziale del primo ordine di forma normale:
La funzione reale f è definita nel dominio rettangolare D=[a,b]×[α0,ß00]. L'equazione differenziale assegnata è lineare se la funzione f(x,y) è lineare in y. Cioè:
Le funzioni α(x) e ß(x) sono definite in X=[a,b]. Quindi:
Diremo che l'equazione è lineare ed omogenea se ß(x) è identicamente nulla, onde:
che si integra per separazioni di variabili. Quindi consideriamo il caso non omogeneo con α(x) e ß(x) funzioni continue in X. Moltiplichiamo primo e secondo membro di
per
si ha
Notiamo che:
che sostituita nella precedente:
Integrando:
Cioè
che è l'integrale generale dell'equazione assegnata.
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