[¯|¯] Integrazione numerica di un'equazione differenziale del primo ordine

Abbiamo esaminato fino ad ora equazioni differenziabili integrabili per quadrature, ovvero tramite il calcolo di un integrale. Ciò è possibile in tutti e soli i casi in cui sono coinvolte funzioni elementarmente esprimibili. Diversamente, l'equazione va integrata numericamente. Consideriamo, ad esempio, l'equazione differenziale:

Soluzione
L'equazione assegnata è a variabili separabili ed è priva di integrali costanti giacché

Separiamo quindi le variabili

Integriamo primo e secondo membro:

che non sono esprimibili nemmeno con le funzioni speciali della fisica matematica. Per procedere a una integrazione numerica, impostiamo il problema di Cauchy

osservando nel frattempo che il grafico di sin(4x²)/(x-1)) compie infinite oscillazioni che non si smorzano, intorno al punto x=1. E ci aspettiamo un comportamento simile per l'integrale particolare che risolve il predetto problema di Cauchy. Infatti, integrando numericamente con mathematica otteniamo l'andamento riportato in fig. 1.

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