[¯|¯] Problema di Cauchy: ricerca di soluzioni

Marcello Colozzo

9 anni fa

Fig. 1. Per u₀=0 il problema di Cauchy assegnato ammette una ed una sola soluzione, giacché il secondo integrale assume in x=0 il valore -u₀. Viceversa, i due valori coincidono (=0) per u₀=0, onde in tal caso si hanno due soluzioni.

equazioni differenziali,problema di cauchy,teorema di esistenza ed unicità — Fig. 1. Per u₀=0 il problema di Cauchy assegnato ammette una ed una sola soluzione, giacché il secondo integrale assume in x=0 il valore -u₀. Viceversa, i due valori coincidono (=0) per u₀=0, onde in tal caso si hanno due soluzioni.

Discutere il problema di Cauchy

al variare del parametro reale u₀.
Soluzione
Qui abbiamo l'equazione differenziale

ove

funzione reale delle variabili reali x,y definita in

La funzione f(x,y) è continua in A assieme alla derivata rispetto a y

Quindi per il teorema di esistenza ed unicità

essendo I=(-δ,δ) un intorno di x=0. L'equazione differenziale è a variabili separabili ed è priva di integrali costanti.

Separando le variabili ed integrando

Segue

avendo introdotto la nuova costante di integrazione C=2C₁.

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