[¯|¯] Supplementare del sottospazio delle matrici a traccia nulla

Sia M_R(2,2) lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine n sul campo reale.

1. Determinare un supplementare V_R(2) del sottospazio T_R(2) delle matrici a traccia nulla.
2. Esprimere un generico vettore di M_R(2,2) come somma di un vettore di T_R(2) e di un vettore di V_R(2).

Soluzione
Dimostriamo innanzitutto che T_R(2) è un sottospazio di M_R(2,2). Si tratta di mostrare che T_R(2) è chiuso rispetto alle leggi di composizione interna che conferiscono a M_R(2,2) la struttura di spazio vettoriale, cioè addizione di vettori e moltiplicazione di uno scalare per un vettore.
Siano

Quindi

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