Esercizio
Studiare la forma bilineare illustrata in fig. 1.
Soluzione
Risulta
per cui la forma bilineare assegnata è un prodotto scalare. Per determinarne l'indice di positività conviene diagonalizzare la matrice G. Applichiamo quindi il procedimento standard di diagonalizzazione, determinando autovalori e autovettori. Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico
Quindi
Le componenti degli autovettori corrispondenti all'autovalore -1 sono le soluzioni non banali del sistema omogeneo
Una delle soluzioni è
All'autovalore +1 di molteplicità algebrica 2 corrisponde il sistema di autovettori
e a meno di un fattore di proporzionalità
Abbiamo dunque la base {ui} di R³. La matrice G è diagonalizzata dalla matrice P di passaggio dalla base canonica alla nuova base.
Precisamente
da cui vediamo immediatamente che l'indice di positività del prodotto scalare è p=2. Dal momento che pScarica l'esercizio in pdf
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