Fig. 1. Grafico delle funzioni f(x)=1/(xsin(1/x)) e g(x)=1/x entrambe infinite per x->0. Il rapporto |f(x)|/|g(x)| non è limitato superiormente, per cui f(x) è di ordine non inferiore a g(x).
Esempio 1
Siano dati gli infiniti
Il rapporto è non regolare
Passando ai valori assoluti di singolo infinitesimo, constatiamo che nemmeno ora il rapporto è regolare, giacché:
Tuttavia:
Ne consegue che f(x)=(x*sin(1/x))-1 è (in x=0) un infinito di ordine non inferiore a g(x)=x-1. In fig. 1 riportiamo i grafici di tali funzioni in un intorno di x=0.
Esempio 2
Siano dati gli infiniti (per x?0):
Eseguiamo il rapporto:
che è manifestamente non regolare in x=0. Altrettanto non regolare è il rapporto dei valori assoluti di singolo infinitesimo:
Ma
Ne consegue che f(x)=(x*sin(1/x))-1 è (in x=0) un infinitesimo di ordine non superiore a g(x)=(xsin²(1/x))-1 . In fig. 2 riportiamo i grafici di tali funzioni in un intorno di x=0.
Fig. 2. Grafico delle funzioni f(x)=(x*sin(1/x))-1 e g(x)=(xsin²(1/x))-1 entrambe infinite per x->0. Il rapporto |f(x)|/|g(x)| è limitato tra 0 e 1, per cui f(x) è di ordine non superiore a g(x).
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