[¯|¯] Successioni univocamente definite. Successioni ricorsivamente definite

Nella lezione precedente abbiamo definito il concetto di funzione reale di una variabile reale, quale applicazione tra due sottoinsiemi di R che abbiamo denotato con X e Y:

Un caso particolare di funzione reale di una variabile reale è quello in cui X=N, dove N={0,1,2,...,n,...} è l'insieme degli interi naturali. Una tale funzione è detta successione. Più precisamente:
Definizione
Assegnato un sottoinsieme Y di R, dicesi successione di elementi di Y, una funzione:


La numerabilità di N implica la numerabilità del codominio di y, cioè dell'insieme y(N). Infatti:










Siccome la variabile indipendente è l'intero naturale n, è preferibile denotare con y_n il valore y(n), che si chiama termine n-esimo della successione. Si utilizza, poi, la notazione compatta:

che può essere ulteriormente snellita:

L'univocità della corrispondenza scritta in precedenza, implica che la successione di elementi di Y che abbiamo denotato con {y_n} è univocamente definita. Di contro, esistono successioni ricorsivamente definite, nel senso che sono assegnati i primi p termini:

e, per ogni n > p, il termine n-esimo dipende dai precedenti:

Un esempio è dato dalla successione di Fibonacci, i cui primi due termini sono dati da

Per ogni n > 1:

Quindi

Cioè, il codominio della successione di Fibonacci è: