Abbiamo visto che un problema di fondo nella trasmissione di calore è la determinazione del legame funzionale generale Nu=ψ(Pr,Re). Tra i numerosi tentativi per risolvere tale problema uno dei più fertili si è dimostrato quello che raffronta analogicamente la trasmissione termica alla trasmissione delle quantità di moto.
Si consideri un flusso in un condotto, lungo l'asse x, e fissiamo l'attenzione su una zona turbolenta laminare di tale flusso. Sia W(y) la distribuzione di velocità lungo l'asse y posto W0=0 per y=0.
Si supponga che le proprietà fisiche del flusso non dipendano dalla temperatura.
Le equazioni della tensione tangenziale t e del calore Q trasmesso nell'unità di tempo nello strato limite laminare e nello strato turbolento sono:
dove ν è la viscosità cinematica nello strato laminare. In tale zona il calore è trasmesso per conduzione. Se S è l'area normale a y potremo scrivere:
In un piano parallelo al flusso, ma già nella zona turbolenta, esistono - ved. lezioni precedenti - fluttuazioni di velocità W' intorno al valor medio e fluttuazioni di velocità Wn in direzione y. Come già visto si ha:
La µ' è la viscosità dinamica dello strato viscoso o viscosità vorticosa. Posto
detta diffusività turbolenta di quantità di moto o viscosità cinematica turbolenta.
In modo analogo, per quanto riguarda la trasmissione del calore, vi sarà una fluttuazione termica turbolenta dovuta alle fluttuazioni di velocità W'' e alle fluttuazioni di temperatura T' intorno al valor medio. La trasmissione di calore convettiva secondo la direzione y sarà espressa da:
ricordando che il segno meno indica trasmissione di calore positiva, cioè
Per la zona di transizione possiamo scrivere:
Possiamo riassumere nello schema di fig. 1.
Esempio di analogia con Pr=1
Come applicazione di quanto sopra esposto si abbia
Scriveremo allora
e si ammettono costanti Q e τ, cioè τ=τ0 =tensione di attrito lungo la parete che equivale a dire dW/dy=costante. Integriamo le equazioni differenziali appena scritte
Posto W0=0 si ottiene
Lo sforzo tangenziale τ0 può essere misurato sperimentalmente. Per il flusso in un tubo si è trovata la relazione
dove f=coefficiente di attrito e dipende dal numero di Reynolds Re. Riprendiamo la figura della lezione precedente.
L'equazione per Q può essere così scritta:
ma sappiamo che per la relazione convettiva di Newton è:
dove αc vale
e dunque
Per una distribuzione di velocità al cubo ricordiamo
da cui ricaviamo
Dunque per il caso Pr=1 si giunge allo stesso risultato della lezione precedente per via puramente analitica.