Risolviamo lo spettro dell'hamiltoniano di un sistema quantistico unidimensionale sottoposto a un potenziale periodico deltiforme:
Innanzitutto osserviamo che essendo infV(x)=0, lo spettro s(H) è puramente continuo ed è contenuto in (0,+8). Per il teorema di Bloch, le autofunzioni (improprie) dell'energia sono
dove v(x) è periodica di periodo a. Riesce, dunque
Posto ω=eika, si ha
per cui la u(x) è quasi periodica, nel senso che la funzione traslata u(x+a) differisce da u(x) per un numero complesso di modulo unitario. Suddividendo l'intervallo [0,2a] in I=[0,a] e II=[a,2a], si ha che in I l'equazione di Schrödinger stazionaria si scrive:
le cui soluzioni sono
con A,B costanti (complesse) di integrazione. Nella regione II sfruttiamo la proprietà di quasi periodicità:
Dobbiamo raccordare le soluzioni in x=a, imponendo la continuità di u(x), e una discontinuità finita della derivata prima (ciò è una conseguenza della presenza di una delta di Dirac, e si ricava facilmente prendendo l'integrale tra -ε e &epsilon di primo e secondo membro dell'eq. di Schrödinger, mandando poi &epsilon->0). Abbiamo
Tenendo delle equazioni scritte più sopra:
che è un sistema lineare omogeneo nelle incognite A,B. Affinché tale sistema ammetta soluzioni non banali, deve annullarsi il determinante della matrice dei coefficienti, da cui otteniamo facilmente
Quindi
Ma &eomga; è un numero complesso, per cui
che è una disequazione in E, e va risolta graficamente come in fig.
Vediamo dunque che lo spettro dell'hamiltoniano è l'unione di un numero infinito di intervalli separati da intervalli proibiti di ampiezza di εg (variabile da intervallo a intervallo) e che denota la cosiddetta banda proibita (gap). Individuando un autovalore E, con esso calcoliamo ω e quindi la costanti di integrazione risolvendo il predetto sistema. In tal modo si ottiene la corrispondente autofunzione dell'energia definita a meno di una costante di normalizzazione (su una funzione delta).