Passando dal sistema di riferimento del laboratorio al sistema di riferimento del baricentro e della coordinata relativa, l'operatore hamiltoniano del sistema si scrive (nella base delle coordinate):
Lo spettro di tale operatore è puramente continuo:
mentre l'equazione agli autovalori si scrive:
L'esercizio dice che inizialmente il sistema è confinato in una regione di dimensioni lineari r0. Ciò implica che lo stato iniziale (a t=0) è un autostato della posizione. Nell'algebra dei ket:
quindi
Utilizzando la completezza delle autofunzioni dell'energia si giunge facilmente allo sviluppo della funzione d'onda iniziale in una sovrapposizione di autofunzioni dell'energia:
Quindi lo stato a tutti i tempi:
La probabilità di tunneling è
da cui una stima:
dove &epslion; > 0 ha le dimensioni di una energia, mentre
In fig. fig:mytun riportiamo l'andamento della probabilità in funzione del valor medio dell'energia al generico istante t (che può essere dedotto attraverso la relazione di indeterminazione tempo-energia).
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