Consideriamo un'equazione differenziale lineare omogenea di ordine n:
Nei numeri precedenti avevamo richiesto la sola continuità dei coefficienti a1(x),...,an(x). Tuttavia per l'applicazione di metodi di integrazione per serie, è richiesta una condizione più forte per la regolarità dei coefficienti. Innanzitutto, si fissa l'attenzione sulle equazioni del secondo ordine, per poi generalizzare a un qualunque ordine n. Scriveremo, dunque, l'equazione nel modo che segue
Per quanto precede, è fondamentale la regolarità delle funzioni p(x),q(x). A titolo di esempio, prendiamo l'equazione differenziale di Schrödinger non dipendente dal tempo:
essendo E un parametro (autovalore dell'energia), V(x) la funzione energia potenziale, m la massa di una particella che compie un moto unidimensionale (asse x), "h tagliato" (o "h bar") la costante ridotta di Planck. Abbiamo, dunque, un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine e a coefficienti variabili. Supponiamo ora che la funzione energia potenziale sia
dove V0 > 0 e x l'ascissa adimensionalizzata della particella. Studiamo questa funzione (ci aspettano molti calcoli tediosi, ma ne vale la pena perché ci aiuteranno a comprendere il concetto di analiticità). Intanto vediamo che è definita in R\{0} è che ivi V(x) >= 0, per cui il grafico giace nel semipiano y >= 0. Vediamo come si comporta in un intorno destro di x=0:
Quindi x=0 è un punto di discontinuità eliminabile, per cui possiamo prolungare la funzione per continuità:
Abbiamo poi
cioè un asintoto orizzontale a destra. La derivata prima è
Quindi
cosicché V(x) è strettamente crescente in tutto il suo campo di esistenza. Determiniamo il coefficiente angolare della retta tangente al grafico nell'origine:
Cioè il grafico «parte» da x=0 con tangente orizzontale. Tale punto è una discontinuità eliminabile per V'(x), per cui scriviamo:
Calcolando la derivata seconda, otteniamo
da cui vediamo
Cioè in tale intervallo il grafico volge la concavità verso l'alto. Ne segue che x=sqrt(2/3) è un punto di flesso a tangente obliqua. Calcoliamo
Quindi anche la derivata seconda è prolungabile per continuità:
A questo punto è facile convincersi che per ogni n, la derivata n-esima è continua in tutto R, ed è infinitesima in x=0:
Da ciò segue che la serie di Taylor di punto iniziale x=0 (serie di MacLaurin) relativa alla funzione V(x), è
cioè converge alla funzione identicamente. Tuttavia, V(x) non è identicamente nulla in un intorno destro di x=0, di raggio arbitrariamente piccolo, come vediamo dal grafico di fig. 1. Ne consegue che V(x) non può essere espressa in un intorno del predetto punto da una serie di Taylor. Si dice in tal caso, che la funzione non è analitica. Di contro, una funzione analitica è localmente esprimibile attraverso una serie di Taylor. In simboli:
ovvero f(x) è continua in R ed è ivi dotata di derivate di ordine comunque elevato, a loro volta continue. L'analiticità, invece, è una condizione più forte. Abbiamo infatti, appena visto che il potenziale V(x) pur essendo una funzione continua assieme alle derivate di ordine comunque elevato, non è analitica. Per una funzione analitica, scriveremo:
E per quanto precede:
Riprendiamo ora l'equazione differenziale di Schrödinger scritta come:
avendo definito il coefficiente:
Non entriamo in dettagli per ciò che riguarda i valori assunti dall'autovalore dell'energia E. Diciamo solo che è definito positivo e le soluzioni interessanti si ottengono per 0 < E < V0. Secondo la meccanica classica, la particella è confinata nella regione
come mostrato in fig.
Quantisticamente, la grandezza fisicamente interessante è la generica autofunzione dell'energia u(x) soluzione della predetta equazione. La presenza dell'esponenziale e^{-1/x²} nel coefficiente dell'equazione ovviamente rende impossibile una integrazione esatta, per cui si ricorre a sviluppi in serie di potenze, resi però problematici dalla non analiticità di V(x). In fig.
riportiamo una soluzione ottenuta con Mathematica (per integrazione numerica).