EsercizioÈ noto che la Terra non è una sfera, perché presenta uno schiacciamento ai poli e un rigonfiamento all'equatore. Modellizzando la Terra attraverso un fluido incomprimibile di densità uniforme ρ, si chiede di determinare la differenza tra il raggio ai poli e il raggio all'equatore.
Alcuni dati numerici: massa della Terra M=6·10²4kg . Raggio medio della Terra R=6366km .
Soluzione
Analizziamo in coordinate sferiche
L'elemento di volume si scrive:
dove
Per facilità di analisi la fig. 1 viene ruotata attorno all'asse z di un angolo φ, ottenendo in tal modo la fig. 2; la variabile φ viene così accantonata.
Il vettore OP=r viene studiato nel piano x'z'. Si noti quindi che dθ=-dλ. Sull'elemento di volume dV agiscono le forze: gravitazionale, centrifuga e di pressione idrostatica. Denotando con &rho la densità (costante):
Per l'equilibrio si ha:
Cioè
Ne segue
Per un punto P posto a una profondità h sotto la superficie della Terra abbiamo:
In quest'ordine di approssimazione
La superficie della Terra è una superficie equipotenziale. Il potenziale, ovvero l'energia potenziale per unità di massa, è la somma di quello gravitazionale &Fhi;G e di quello centrifugo &Fhi;c.
Forza gravitazionale
Forza centrifuga ad una fissata latitudine
che proiettata sulla direzione di r e per unità di massa dà
In coordinate sferiche il &Fhi;c è in funzione di
Si ha
che integrata dà
Inoltre
Quindi sulla superficie terrestre abbiamo:
Ai poli si ha
e avremo
All'equatore è
Quindi
La deviazione dalla sfericità vale dunque:
Segue
