Consideriamo un intervallo X (contenuto in R) e una funzione f di classe (n+1) su X (cioè derivabile in X n+1 volte con derivate continue). Preso ad arbitrio x0 in X, ricordiamo la formula di Taylor:
dove il resto Rn(x) si presenta in due espressioni diverse. Precisamente, il resto di Lagrange:
e il resto di Cauchy:
Se f è di classe Coo(X) (cioè dotate di derivate di ordine comunque elevato, e continue in X) la formula di Taylor può essere scritta per n arbitrariamente grande, per cui è univocamente definita la serie di funzioni:
Definizione
La serie
si dice serie di Taylor relativa alla funzione f(x) e ad al punto iniziale x0 (serie di Mac Laurin se x0=0).
Ciò posto, ci chiediamo:
- la predetta serie converge?
- In caso affermativo, la somma è f(x)?
A tali domande risponde il seguente teorema:
Teorema
Dim.
La somma parziale di ordine n+1 è
per cui
Definizione
Nelle ipotesi del teorema appena dimostrato, diremo che la funzione f(x) è sviluppabile in serie di Taylor, di punto iniziale x0, nell'intervallo X.
Dimostriamo un criterio (condizione sufficiente, ma non necessaria) per la predetta sviluppabilità.
Criterio
Dim.
Prendiamo il resto di Lagrange:
Segue
da cui l'asserto in virtù del teorema precedente.
