Esercizio
La fig. 1 mostra un regolatore a sfere centrifughe, del quale trascureremo attriti e masse non specificatamente indicati. Si chiede di calcolare:
a) l'altezza di equilibrio della massa M;
b) la frequenza di piccole oscillazioni attorno a questo valore.
Soluzione
Quesito a
Sia z l'asse di rotazione del regolatore, e l'asse y sia perpendicolare al piano del foglio. Le coordinate delle masse m e M sono quindi:
Le rispettive velocità:
L'energia cinetica:
L'energia potenziale:
Quindi la lagrangiana:
Segue l'equazione del moto nella forma di Eulero-Lagrange:
Calcolando le derivate, dopo qualche passaggio:
All'equilibrio si ha:
Dunque l'equazione del moto diventa:
Risolvendo rispetto a θ0, otteniamo due posizioni di equilibrio:
e dunque la distanza della massa M dall'origine della terna d'assi cartesiani sarà:
Quesito b
Nella condizione θ0=0 c'è riposo o collasso del regolatore. Esaminiamo la seconda condizione di equilibrio. Poniamo
Per piccole oscillazioni abbiamo
dunque
Tenendo conto solo dei termini del primo ordine delle piccole quantità
l'equazione del moto diventa:
che è un'equazione del tipo oscillatore armonico. Ne segue la frequenza di oscillazione:
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