Consideriamo il seguente operatore essenzialmente autoaggiunto definito nello spazio di Hilbert L²(R):
dove l'operatore p è rappresentato nella base delle coordinate, da
Come è noto, lo spettro degli autovalori è
Le corrispondenti autofunzioni sono:
dove
sono costanti di normalizzazione, mentre Hn(x) sono i polinomi di Hermite. Consideriamo ora un secondo operatore essenzialmente autoaggiunto V(x) tale che
essendo λ un parametro reale variabile con continuità in [0,1] e che controlla l'effetto del secondo operatore per ciò che riguarda la modulazione dello spettro di H0. Più precisamente, lo sviluppo in serie di potenze di λ, degli autovalori di H è dato da
dove
Cioè
L'effetto del termine perturbativo consiste nel «respingere» i livelli imperturbati:
Ciò premesso, consideriamo la funzione zeta di Riemann con l'usuale notazione
Enumerando gli zeri non banali:
Sfruttando la nota simmetria rispetto all'asse reale:
Per il teorema di Hardy:
Ne seguirebbe lo sviluppo in serie:
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