Esercizio
Una corda senza massa, lunga l e fissata ad un soffitto, sostiene una barra sottile di massa M, lunga 2L, alla cui estremità libera è applicata una forza orizzontale F (fig. 1). Scrivere le equazioni di Lagrange per tale sistema. Per tempi molto brevi - ragion per cui gli angoli sono piccoli - determinare gli angoli formati da corda e barra.
Considerando lo stato di riposo al tempo t=0, disegnare il sistema per illustrare il moto iniziale della barra.
Soluzione
Come è evidente dalla fig. 1 il moto si sviluppa e rimane in un piano verticale. Il baricentro della barra ha le seguenti coordinate cartesiane:
Le componenti della velocità sono:
e il momento di inerzia della barra rispetto all'asse perpendicolare baricentrico vale:
Dunque l'energia cinetica della barra è
e la sua energia potenziale gravitazionale:
Per definizione, il potenziale della forza è
Quindi la lagrangiana:
e le equazioni di Lagrange saranno:
Calcoliamo le derivate parziali e otteniamo:
Notiamo che se F è piccola lo sono pure le 4 variabili, quindi le equazioni appena scritte si possono semplificare in
Il moto inizia con il sistema a riposo a t=0. Dopo, per un tempo molto breve Δt, la forza può considerarsi di tipo impulsivo FΔt, e così pure il momento torcente FLΔt rispetto al baricentro.
Dunque concludiamo
come illustrato in figura:
