Alcune banalità sulla funzione zeta di Riemann

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Consideriamo una funzione di variabile complessa s=&sigma:+it

essendo

Assumiamo f olomorfa in A, con s₀ polo semplice tale che

Riferiamoci a quella particolare classe di funzioni che si esprimono come somma di una serie di Dirichlet con ascissa di convergenza σ₀:

dove i coefficienti c_n definiscono una funzione aritmetica:

Come è noto, se la predetta funzione aritmetica è identicamente 1, la serie di Dirichlet converge alla funzione zeta di Riemann, e ha ascissa di convergenza σ₀=1:

In fig. 1 riportiamo alcune curve di livello della funzione zeta.