Si faccia riferimento alla fig. 1, dove è raffigurato un triangolo ABC di cui si conoscano i lati a,b,c. Denominando con p il perimetro p=a+b+c, con s il semiperimetro e con A l'area del triangolo, si vuole dimostrare la formula di Erone:
Soluzione
Si traccino le tre bisettrici per ottenere il centro del cerchio inscritto nel triangolo. I punti di tangenza sono D,E,F. Si estenda il lato BC di un segmento pari a k=AD. Si costruiscano i triangoli BOP e BCP; si potrà dire che essi definiscono il
il quadrilatero ciclico BOCP il cui cerchio (blu) ha il diametro D=BP. Ne segue che l'angolo
è supplementare a
È immediato constatare che
Sommiamo
cioè
è supplementare a
Ne segue che il triangolo DOA è simile al triangolo BCP. Pertanto scriveremo:
triangoli OGF e GPB sono simili perché sono rettangoli e hanno uguale un angolo in F:
Segue
Nel triangolo BOG il r è l'altezza sull'ipotenusa; dunque
L'area del triangolo ABC sarà la somma delle aree dei triangoli AOB,BOC,COA.
Così l'area di ABC è
Tenendo conto delle formule scritte più sopra, si ha:
cioè l'asserto.
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