Comunque prendiamo una matrice unitaria di ordine n, si ha:
Denotiamo con U(n) l'insieme delle matrici unitarie di ordine n. Mostriamo che il prodotto righe per colonne è una legge di composizione interna per il predetto insieme. Infatti:
Tale legge di composizione verifica le seguenti proprietà:
Ne segue che l'introduzione dell'operazione righe per colonne, con le proprietà appena viste, conferisce all'insieme U(n)la struttura di gruppo non abeliano, in quanto il prodotto righe per colonne non è commutativo. Per applicazioni in Meccanica quantistica è utile considerare il gruppo U(2). La più generale matrice unitaria di ordine 2 si può scrivere:
La matrice inversa e l'hermitiana coniugata sono rispettivamente
Deve essere
Segue
Per ω=0 abbiamo una matrice unimodulare:
Denotiamo con SU(2) il sottoinsieme
È facile persuadersi che è un sottogruppo di U(2).
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