La teoria di Brans-Dicke

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Come si inseriscono le conclusioni precedenti nelle equazioni di campo di Einstein?

Rammentiamo velocemente le varie grandezze:
R_µν è il tensore di Ricci; R è lo scalare di curvatura; g_µν è il tensore metrico; T_µν è il tensore energia-impulso della materia in una sua rappresentazione fenomenologica. Ricordiamo poi che le predette equazioni si ottengono da un principio variazionale assumendo come densità di lagrangiana:

dove L è la densità di lagrangiana della materia. Nella teoria di Brans-Dicke si rappresenta la "costante" di gravitazione universale attraverso un campo scalare. Precisamente:

Siamo così tentati a scrivere la densità di lagrangiana

In realtà si deve introdurre un termine di accoppiamento (di costante ω > 0), cosicché

essendo

Si assume un campo scalare tale che

Quindi la densità di lagrangiana nella teoria di Brans-Dicke si scrive:

che dà luogo alle seguenti equazioni di campo:

Imponendo omogeneità ed isotropia, si ha che la metrica deve essere quella di Robertson-Walker. In tal modo si ottiene un sistema di equazioni differenziali per il parametro di espansione a(t) della predetta metrica. Rispetto agli usuali modelli di Friedmann, ci sono più parametri liberi (ad esempio, il valore attuale φ₀), per cui la classe dei modelli di Brans-Dicke è più vasta di quella di Friedmann.