Punto base e inviluppo (Base point and envelope)

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Esercizio

Soluzione
Denotiamo con γ_λ la singola circonferenza. Ricordiamo dalla Geometria analitica che la generica equazione di una circonferenza di centro (ξ,η) e raggio R, è:

dove

Ne segue che nel nostro caso è

Ora poniamo

da cui il sistema

Se nella seconda poniamo x=1 si ha y=0, cioè la soluzione (1,0), e questa verifica anche la prima equazione. Abbiamo perciò trovato il punto base (1,0). Scartando tale soluzione (cioè x diverso da 1) proviamo con x=-1, per cui la seconda restituisce y=2λ. Ponendo nella prima x=-1,y=2λ si perviene a una identità, i.e. abbiamo trovato la soluzione

che è manifestamente una rappresentazione parametrica della retta x+1. Ne concludiamo che quest'ultima è l'inviluppo della famiglia assegnata, come mostrato in fig. 1.

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Exercise

Studying the family of circumferences:

Solution
We denote by γ_{& lambda;} the single circumference. Recall from Analytic Geometry that the generic equation of a circle with center (ξ, η) and radius R, is:

where

It follows that in our case it is

Now let's say

hence the system

If in the second we set x = 1 we have y = 0, that is the solution (1,0), and this also verifies the first equation. We have therefore found the base point (1,0). Discarding this solution (i.e. x different from 1) we try with x = -1, so the second one returns y = 2λ. Placing in the first x = -1, y =2λ we arrive at an identity, i.e. we have found the solution

which is manifestly a parametric representation of the line x + 1. We conclude that the latter is the envelope of the assigned family, as shown in fig. 1.