Ricerca della curva di fase per un assegnata condizione iniziale
L'oscillatore armonico unidimensionale è una particella di massa m che si muove sull'asse x ed è ivi soggetta a una forza elastica F(x)=-kx con k>0 (costante elastica). Quindi il nostro problema di Cauchy si scrive:
Segue
il cui integrale generale è
Derivando
Imponendo le condizioni iniziali, troviamo l'unica soluzione del predetto problema di Cauchy
che costituisce una rappresentazione parametrica della curva di fase del sistema.
Ricerca di punti di equilibrio
In virtù di questo teorema i punti di equilibrio sono tutti e soli i punti critici dell'energia. Per scrivere la funzione E(x,y), calcoliamo l'energia potenziale
Ponendo lo zero dell'energia potenziale in x=0 e facendo intervenire la pulsazione ω:
per cui
I punti critici sono gli zeri del gradiente di tale funzione:
Ne consegue che esiste un solo punto di equilibrio posto nell'origine (0,0) del piano delle fasi.
Studio della stabilità secondo Lyapunov
Deve essere
Dobbiamo studiare le disuguaglianze
Dalle precedenti
Operando in modo simile per |y(t)| otteniamo
La prima è verificata per |x0| < δε,|y0| < δε, con
La seconda invece è verificata per un
Affinché siano verificate entrambe:
Cioè
In definitiva:
Ne concludiamo che (0,0) è un punto di equilibrio stabile (secondo Lyapunov) per l'oscillatore armonico. Geometricamente, troviamo che la curva di fase è tracciata nel quadrato R_{e} di figura:
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