Definizione
Dicesi punto di equilibrio del sistema di equazioni differenziali
un punto (ξ0,0) del piano delle fasi, tale che assegnata una condizione iniziale
il predetto sistema ammette l'unica soluzione
Osservazione
La lipchitzianità di F(x) è condizione sufficiente per l'unicità della suddetta soluzione.
Ciò premesso, dimostriamo il teorema:
Teorema
Assegnato il sistema di equazioni differenziali
con F(x) lipchitziana, il punto (ξ0,0) è di equilibrio se e solo se è un punto critico dell'energia.
Dim.
La condizione è sufficiente
Per ipotesi (ξ0,0) è punto di equilibrio. La lipchitzianità di F(x) implica che l'unica soluzione del sistema per una condizione iniziale x(t0)=ξ0,y(t0)=0 è
Dalla seconda equazione differenziale:
Cioè (ξ0,0) è punto critico.
La condizione è necessaria
Per ipotesi (ξ0,0) è un punto critico dell'energia, onde V'(ξ0)=0. Impostiamo il problema di Cauchy
Segue immediatamente che x(t)=ξ0,y(t)=0 è una soluzione di P. Dal momento che F(x) è lipchitziana, non esistono altre soluzioni, per cui (ξ0,0) è punto di equilibrio.
Corollario
Se (ξ0,0) è punto di equilibrio
Dim.
Segue immediatamente dalle equazioni del moto in forma integrale
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