Area di una figura piana (integrali doppi)

Esercizio n.7, pag. 235 del Flaccavento che comunque riporta un risultato errato. (Abbiamo controllato con Mathematica).

Calcolare l'area della regione del piano limitata dal semiasse positivo delle x, dall'ellisse di semiassi a e b e dalla retta di equazione x=y (fig. 1).


Soluzione
Determiniamo innanzitutto le coordinate cartesiane del punto di intersezione della retta o meglio della semiretta x=y (per y>0) e dell'ellisse:

La seconda radice non ci interessa, per cui la scartiamo. L'ordinata del punto di intersezione è ovviamente y₁=x₁. L'area richiesta altro non è che la misura del dominio di fig. 1 che si potrebbe partizionare in due domini normali rispetto all'asse x. In realtà tale dominio è normale anche rispetto all'asse y. Infatti, se nell'equazione dell'ellisse esprimiamo la variabile x in funzione di y, si ha:

per cui guardando la figura si ottiene

Quindi

Calcoliamo a parte l'integrale rimasto inespresso a secondo membro dell'equazione appena scritta. Riferiamoci all'integrale indefinito, eseguendo un'integrazione per parti:

Cioè

Ne segue

che sostituita nell'equazione più sopra, restituisce il risultato riportato in fig. 1.