A questo punto la definizione di tensore misto è immediata. Precisamente, comunque prendiamo uno spazio vettoriale En su un campo K, possiamo definire un'applicazione (r+s)-lineare:
essendo (al solito) En* lo spazio duale di En. Quindi
Definizione
La forma (r+s)-lineare (cfr. eq. scritta sopra), si dice tensore misto di rango r+s, di ordine di covarianza r e di ordine di controvarianza s (relativo allo spazio vettoriale En).
Se {ei} è una base di En e {θj} è la base duale ad essa associata, possiamo esprimere i singoli argomenti della predetta applicazione (r+s)-lineare, in termini di vettori di base:
La (r+s)-linearità implica:
Se ora definiamo
ovvero le componenti del tensore misto T in una base di un "qualche" spazio vettoriale. Per individuare tale spazio, definiamo innanzitutto l'insieme delle predette applicazioni (r+s)-lineari:
essendo
Introducendo le solite leggi di composizione e relativi assiomi, tale insieme assume la struttura di spazio vettoriale su K. Definendo la base biduale:
sussiste (come nel caso dei tensori covarianti e controvarianti) il seguente teorema di cui omettiamo la dimostrazione:
Teorema
Il sistema
è una base di En(r+s)
Da tale teorema segue
No TweetBacks yet. (Be the first to Tweet this post)