Nel numero precedente abbiamo definito le "componenti" di un tensore controvariante di rango r. È chiaro che tale locuzione ha senso solo se è stata assegnato innanzitutto uno spazio vettoriale di appartenenza, e poi una sua base. A tale scopo definiamo innanzitutto l'insieme delle applicazioni r-lineari introdotte nel numero precedente:
dove il doppio asterisco denota lo spazio biduale di En. Siccome esiste un isomorfismo naturale tra un qualunque spazio vettoriale e il suo biduale, possiamo identificare En** con En, per cui scriviamo semplicemente:
avendo però l'accortezza di denotare una base di En con un simbolo del tipo
per ricordare che stiamo in realtà lavorando sullo spazio biduale. Più precisamente, se {ei} è una base assegnata di En, si ha che la base duale ad essa associata è
mentre la base biduale associata alla base {ei} ovvero la base duale associata a {θj}, è
che è ovviamente una base En, tuttavia in generale distinta dalla base di partenza {ei}.
Riepilogando: lavoriamo su Enr assumendo come base il sistema {ψk}}. Introducendo in Enr le usuali leggi di composizione, si ha che tale spazio assume la struttura di spazio vettoriale su K .
Definizione
Lo spazio vettoriale Enr si dice spazio prodotto tensoriale r volte di En
Teorema
Il sistema
è una base di Enr
Dim.
Dobbiamo dimostrare che si stratta di un sistema linearmente indipendente di ordine massimo. Comunque prendiamo una r-pla di 1-forme (elementi di En*), dovrà essere per definizione di prodotto tensoriale
cioè
Scriviamo (con ovvio significato dei simboli):
Tenendo conto della relazione scritta più sopra
Se in particolare, prendiamo i vettori di base:
onde la precedente diviene:
Ne consegue che il sistema
è lineramente indipendente. Proviamo ora che si tratta di un sistema di ordine massimo. Tenendo conto delle relazioni scritte più sopra:
per cui il sistema
è linearmente dipendente, onde l'asserto.
Dal teorema appena dimostrato si ha:
