[¯|¯] Tautocronia della cicloide

Esercizio
Una pallina di massa m è lasciata cadere lungo una cicloide "rovesciata":

dove a > 0 ha le dimensioni di una lunghezza, mentre ω > 0 ha le dimensioni dell'inverso di un tempo. Dimostrare che il tempo impiegato per raggiungere la base A(aπ,0) è indipendente dalla punto in cui la pallina è lasciata cadere.

Soluzione

La traiettoria della particella è rappresentata in fig. 1. Dalla conservazione dell'energia meccanica si ha:

dove v è il modulo della velocità vettoriale, mentre y₀ è l'ordinata del punto della traiettoria in cui la pallina è lasciata cadere, a cui corrisponde un valore del parametro t, dato da:

Segue

Tenendo conto che l'elemento d'arco si scrive come

si ha che il tempo T impiegato dalla pallina per raggiungere il punto più basso è

Derivando le funzioni x(t),y(t) e sostituendo nella precedente:

Si tratta di dimostrare che T è indipendente da t₀. Innanzitutto, osserviamo che l'ìntegrando ha una singolarità nell'estremo inferiore di integrazione; tuttavia, proviamo a calcolare il corrispondente integrale indefinito:

Dalle formule di bisezione:

Dalle formule di duplicazione:

da cui la tautocronia della cicloide.