[¯|¯] Cambiamento di cobase

Soluzione
Se rappresentiamo i vettori di R² con vettori colonna, i vettori dello spazio duale R²* sono rappresentati da vettori riga. Quindi

La base duale {θ^j} è tale che










Ricordiamo che un qualunque cambiamento di base è definito da:

dove gli indici in alto sono indici di riga, mentre quelli in baso sono indici di colonna, per le matrici (l'una è l'inversa dell'altra) che connettono le due basi:

essendo GL(2,R) il gruppo lineare su R di ordine 2. Per quanto detto, indici in alto -> indici di riga, quindi incolonnando i vettori della nuova base otteniamo

da cui

Quesito 2
Le componenti controvarianti si trasformano come

In termini di matrici

Nel nostro caso è

Cioè

Quesito 3
Si tratta di eseguire il cambiamento di base

indotto da {e_i}->{e'_i}. Dal momento che abbiamo indici scritti in alto:

e anche in questo caso possiamo servirci dell'algebra delle matrici, prestando attenzione a come scrivere i prodotti riga per colonna. Precisamente:

che è la matrice rappresentativa della forma lineare θ'¹:

Per un qualunque vettore x

cosicché

Allo stesso modo per l'altro vettore della base duale:

che è la matrice rappresentativa della forma lineare θ'²:

Segue

cioè

Ne concludiamo che la base duale associata alla nuova base di R² è costituitd dalle forme lineari tali che

Questo risultato può apparire strano, in quanto compaiono le variabili x^{i} quali componenti controvarianti di un qualunque vettore di R². In realtà, ciò che conta sono i coefficienti di tali forme, cioè -1,3 per la prima, e 1,-2 per la seconda, che sono appunto le componenti dei covettori di base espressi nella vecchia base duale associata alla base canonica.