[¯|¯] Le allucinazioni di una ballerina

Esercizio
Una ballerina osserva da ferma il moto di una pallina lungo una traiettoria non rettilinea. A quale velocità la ballerina deve ruotare su sé stessa, per vedere la medesima pallina muoversi lungo una retta?

Soluzione
Sia K(Oxyz) un sistema di riferimento solidale alla ballerina B quando è ferma. Orientiamo l'asse z, coincidente con l'asse di simmetria di B, nel verso che va dai piedi alla testa di B. Denotiamo, quindi, con γ la traiettoria della pallina osservata da B quando è ferma, supponendo note le equazioni orarie del moto e quindi, la rappresentazione parametrica:

essendo t=0 l'istante in cui B inizia a ruotare. Sia K'(O'x'y'z') il sistema di riferimento solidale a B in rotazione e tale che a t=0 è K'=K (fig. 1). Indicando con θ(t) l'angolo di cui è ruotato l'asse x' al tempo t, si ha dalle formule di trasformazione che ci fanno passare dal sistema di coordinate K al sistema K':

In particolare, se x,y,z sono le funzioni che implementano la rappresentazione parametrica (con parametro t, il tempo), otteniamo una rappresentazione parametrica della traiettoria γ' vista da B:

Senza perdita di generalità, supponiamo che γ sia una curva del piano coordinato xy del sistema fisso, per cui z(t)=0. La nostra richiesta è che γ' sia una retta del piano coordinato x'y' del sistema rotante, e ancora senza perdita di generalità, supponiamo che sia il semiasse positivo y'. Ciò implica

da cui

e quindi la velocità angolare di B

Cioè

dove a numeratore troviamo il doppio della velocità aereolare della pallina. Ad esempio, se γ è l'arco di parabola

ove v0 è la velocità iniziale orientata lungo l'asse x positivo, e a0 l'accelerazione orientata lungo l'asse y positivo, si ha