[¯|¯] Simboli di Christoffel

Seguendo le orme di Vladimir Belinski esprimiamo i Gamma Symbols in funzione del tensore metrico, per poi denominarli simboli di Christoffel. Il nostro punto di partenza è la seguente proposizione che esprime l'annullarsi della derivata covariante del tensore metrico:

Proposizione

Dim.
Per un qualunque campo vettoriale A_µ(x), si ha

Ma

per cui

Sviluppiamo la derivata covariante a primo membro:

Cioè

onde l'asserto.

Dalla proposizione appena dimostrata segue

Con ovvio significato dei simboli:

Quindi l'equazione scritta più sopra si riscrive:

Eseguendo una permutazione ciclica degli indici µνα:

Inglobiamo le equazioni ottenute:

Sommando membro a membro e tenendo conto della simmetria dei Gamma Symbols rispetto agli indici inferiori, si ha

da cui

che sono i simboli di Christoffel. Una notazione utilizzata spesso è

Da un'equazione scritta in precedenza vediamo che il tensore metrico determina univocamente i Gamma Symbols. Detto in altro modo, le proprietà metriche determinano univocamente le proprietà affini. Tuttavia, non è sempre vero il viciversa. Ciò può essere visto da questa equazione

che è un'equazione differenziale nelle componenti del tensore metrico, per assegnati Gamma Symbols che possono essere fissati ad arbitrio. Ma non sempre tale equazione è integrabile.

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