[¯|¯] Il simbolo di Levi-Civita in una varietà pseudoriemanniana

Premettiamo alcune nozioni circa l'innalzamento e l'abbassamento di indici tensoriali.
Supponiamo di avere un ente fisico rappresentato da un 4-vettore controvariante A^µ. Le corrispondenti componenti covarianti si ottengono tramite il tensore metrico. Precisamente:

Viceversa:

Nel caso particolare della metrica di Minkowsky:

Cioè le note relazioni che troviamo in Relatività Ristretta:

Tutto questo si generalizza a un tensore di rango arbitrario. Ad esempio per r=2

Ciò premesso, riprendiamo la metrica di Minkowsky:

il simbolo di Levi-Civita è un tensore di rango 4 simboleggiato da

completamente antisimmetrico, i.e. antisimmetrico rispetto a una permutazione di una qualunque coppia di indici. Ne consegue

La condizione di normalizzazione

implica che i possibili valori delle sue componenti sono 0,±1. Per determinare il simbolo di Levi-Civita in una varietà differenziabile pseudoriemanniana 4-dimensionale, non dobbiamo fare altro che eseguire la trasformazione di coordinate:

onde il predetto simbolo si trasforma come

D'altra parte, applicando una nota proprietà dei determinanti:

rammentando che J è la matrice jacobiana

Tenendo conto di questa proposizione

si ha

cioè il simbolo di Levi-Civita in una varietà pseudoriemanniana. Si noti che tale risultato si applica anche per una varietà riemanniana ove g > 0. In generale scriviamo:

Si noti che il tensore appena definito, conserva le sue componenti 0,±1 in un qualunque sistema di coordinate, per cui è la giusta generalizzazione del corrispondente tensore nella metrica di Minkowsky.

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