[¯|¯] Matrice Jacobiana di una trasformazione di coordinate

In una lezione precedente abbiamo definito la matrice jacobiana di una trasformazione di coordinate come:

essendo

Assumendo µ come indice di riga e ν come indice di colonna:

La matrice jacobiana inversa è

dove

Da ciò segue che l'elemento di «volume» nella varietà spaziotempo

si trasforma come

Notiamo che alcuni autori utilizzano una definizione opposta. Cioè assumono

come matrice jacobiana. Questa scelta è dettata da ragioni di convenienza matematica. Per convincersene, consideriamo nello spazio euclideo R³ la trasformazione di coordinate:

dove le nuove coordinate sono le usuali coordinate sferiche. Ricordiamo che

Conviene assumere come matrice jacobiana

onde

Ne consegue che l'elemento di volume si trasforma come

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